Disciplina detalhes

Detalhes do curso

Conhecimentos de Base Recomendados

Cálculo diferencial e integral com funções reais de variável real.
Objetivos

O objetivo desta disciplina é familiarizar os alunos com os métodos computacionais que aproximam numéricamente as soluções de problemas comuns de de cálculo. Com esta unidade curricular pretende-se que os alunos conheçam vários métodos numéricos, apliquem esses métodos, os implementem numa ferramenta computacional, e saibam escolher entre eles o mais adequado ao problema em estudo.

Objetivos de aprendizagem:
1. Representar números reais em diferentes sistemas de representação numérica exata e arredondada.
2. Analisar em R^n o erro associado a valores aproximados, e a sua propagação.
3. Efetuar operações com matrizes e aplicá-las na formulação de problemas lineares e na análise do erro.
4. Determinar o conjunto de soluções de equações matriciais lineares, através do algoritmo de substituição inversa e do método de eliminação de Gauss.
5. Identificar decomposições LU de Doolittle e de Cholesky de matrizes quadradas, interpretando e aplicando os resultados.
6. Aplicar métodos iterativos, na resolução de equações lineares (em particular os métodos de Jacobi e Gauss-Seidel) e não lineares (em particular os métodos de Newton-Raphson e da secante), analisando a sua convergência.
7. Aplicar métodos intervalares da bisseção e da falsa posição na resolução de equações não lineares.
8. Aplicar as fórmulas de interpolação polinomial de Lagrange, Newton e de Gregory-Newton para obter valores aproximados ou zeros de uma função.
9. Aplicar diversas regras de quadratura, simples e compostas, para obter valores aproximados de um integral.
Mostrar conhecimentos em:

a. Origem, propriedades e propagação de erros

b. Operações com funções de várias variáveis, através do cálculo matricial
c. Métodos algorítmicos para resolver sistemas de equações lineares

d. para resolver equações não lineares

e. para interpolação polinomial

f. para integração numérica

g. Sua implementação através de programação

h. Suas propriedades numéricas.

Desenvolver aptidão para:

1. Avaliar e controlar a eficácia de algoritmos

2. Desenvolver e programar algoritmos

3. Aplicar algoritmos em problemas práticos

4. Escolher algoritmos adequados para cada problema

5. Interpretar os resultados da aplicação dum algoritmo

Adquirir competências em:

i)Tecnologia de Informação e Comunicação

ii) Valorização Pessoal

iii)Planeamento e Análise

iv) Autonomia e iniciativa

v) Raciocínio Analítico

vi) Raciocínio crítico

vii) Pensamento criativo

viii) Tomada de Decisão
Métodos de Ensino

O estudo orientado dos alunos é feito através de:
• Aulas teórico-práticas: Exposição da matéria seguida de resolução de exercícios.

• Aulas Práticas-Laboratoriais: Resolução de exercícios com a utilização ferramentas de cálculo numérico.

Os objetivos gerais consistem no conhecimento de diferentes algoritmos, as suas propriedades, e os diferentes aspetos relacionados com a programação de métodos numéricos num computador. Portanto as sessões teóricas aportam uma sólida apresentação dos princípios básicos.
A apresentação de conteúdos, propriedades e exemplos nas aulas teórico-práticas, combinada com a experimentação com estas ferramentas através de exercícios concretos e programação de Matlab deverá possibilitar a consecução dos objetivos.
A resolução de exercícios nas sessões teóricas facilitam a assimilação destes conhecimentos, e a sua aplicação em diferentes casos práticos. As sessões e trabalhos práticos com Matlab/Octave desenvolvem a aptidão exigida na programação de algoritmos.

São disponibilizados materiais de apoio para o estudo autónomo: sebentas, exercícios resolvidos, códigos Matlab, formulários, ligações web e livros (fornecidos nas aulas, Moodle ou na biblioteca IPS)
Estágio(s)

Não
Programa

T1. REPRESENTAÇÃO DE NÚMEROS NO COMPUTADOR E ERROS
1.1 Representação dos números no computador.

1.2 Erros na aritmética em ponto flutuante.

1.3 Propagação de erros.

T2. SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
2.1 Introdução ao cálculo matricial
2.1.1 Definição de matriz, matrizes especiais, operações algébricas com matrizes e matriz inversa.

2.2 Métodos diretos.
2.2.1 Método de eliminação de Gauss.

2.2.2 Fatorização LU: métodos de Doolittle e de Cholesky.

2.3 Métodos iterativos.
2.3.1 Métodos de Jacobi e de Gauss-Seidel.

T3. EQUAÇÕES NÃO LINEARES
3.1 Métodos da bissecção e da falsa posição.

3.2 Métodos da secante e de Newton.

3.3 Zeros de polinómios.

3.4 Método do ponto fixo.

T4. INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL
4.1 Fórmula de interpolação de Lagrange.

4.2 Fórmula de Newton com diferenças divididas.

4.3 Fórmulas de Newton com diferenças não divididas.

4.4 Interpolação inversa.

T5. INTEGRAÇÃO NUMÉRICA
5.1 Regras dos retângulos, trapézios e Simpson.

5.2 Regras de Newton-Cotes.
Demonstração de conteúdos

-
Demonstração da metodologia

-
Docente(s) responsável(eis)

-
Bibliografia

César Fernández; Sebenta de Análise Numérica (Disponível no Moodle da UC)
Vários; Apontamentos editados pelo Departamento de Matemática.
Atkinson KE; An introduction to numerical analysis, John Wiley & sons, 1990. ISBN: 0471624896
Correia dos Santos, F.M.; Fundamentos de Análise Numérica, Sílabo, 2002. ISBN: 9789726182863
Kharab, A.; Guenther, R.B.; An introduction to Numerical Methods - A Matlab approach, CRC press, 2018. ISBN: 9781315107042
Pina, H.; Métodos Numéricos, McGraw-Hill, 2010. ISBN: 9789728298043
Quarteroni, A.M.; Saleri, F.E.; Cálculo científico com Matlab e Octave, Springer Science & Business Media, 2007. ISBN: 9788847007185
Rao, S.S.; Applied numerical methods for engineers and scientists, Pearson, 2002. ISBN: 9780130894809
Scheid, F.; Análise Numérica, McGraw-Hill, 2000. ISBN: 972-9241-19-8